Question

【题目】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝2处取得极值－14.

(1)求a，b的值；

(2)若f(x)≥kx在上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1) )f′(x)＝3ax2＋b，由f(x)在x＝2处取得极值－14，解方程即可；（2）f(x)≥kx得x3－12x＋2≥kx，又x∈，∴k≤x2＋－12，设g(x)＝x2＋－12，对函数求导研究函数的单调性求得函数最值.

(1)f′(x)＝3ax2＋b，由f(x)在x＝2处取得极值－14，

得即解得经检验，a＝1，b＝－12符合题意，

∴a＝1，b＝－12.

(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋2，由f(x)≥kx得x3－12x＋2≥kx，又x∈，∴k≤x2＋－12，设g(x)＝x2＋－12，x∈，则g′(x)＝2x－＝，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)在(0，1)上单调递减；当1<x≤2时，g′(x)>0，g(x)在(1，2]上单调递增．故g(x)在x＝1处取得极小值g(1)＝－9，也是最小值，故得k≤－9，即k的取值范围为(－∞，－9]．