题目内容
定义在R上的函数f(x)满足:如果对任意x1、x2∈R都有f(
)≤
［f(x1)+f(x2)］,则称f(x)为R上的凹函数,已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0).??(1)求证:当a＞0时,函数f(x)是凹函数;?
(2)若x∈［0,1］时,|f(x)|≤1,试求实数a的取值范围.??
(1)证明:对任意x1、x2∈R,∵a＞0,?
∴［f(x1)+f(x2)］-2f(
)?
=ax12+x1+ax22+x2-2［a(
)2+
］??
=ax12+ax22-
a(x12+x22+2x1x2)?
=
a(x1-x2)2≥0.?
∴f(
)≤
［f(x1)+f(x2)］.?
∴f(x)为凹函数.?
(2)解析:由|f(x)|≤1
-1≤f(x)≤1
-1≤ax2+x≤1.(*)?
当x=0时,a∈R;?
当x∈(0,1］时,(*)即?
恒成立.?
∵x∈(0,1］,
∴
≥1.?
∴当
=1时,-(
+
)2+
取得最大值是-2;?
当
=1时,(
- 
)2-
取得最小值0.?
∴-2≤a≤0,结合a≠0,得-2≤a＜0.??
综上,a的范围是［-2,0).
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