Question

如图所示，PA⊥平面ABCD，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，且AB=AC=2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在线段BC上，且CF=2FB．
（1）求证：FG∥平面PAB；
（2）求证：FG⊥AC；
（3）当PA长度为多少时，FG⊥平面ACE？

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质证明．
（2）利用线面垂直的性质证明．（3）利用线面垂直的判定定理求值．

解答：解：（1）连接CG交AP于M点，连接BM．
∵

CG

GM

=

CF

BF

=

2

1

，
∴FG∥BM，
又BM?平面PAB，FG?平面PAB
∴FG∥平面PAB．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AC，
又∵AC⊥AB，PA∩AB=A．
∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥BM，
∵FG∥BM，∴FG⊥AC．
（3）连结EM，由（2）知FG⊥AC，若FG⊥平面ACE，
则FG⊥AE，即BM⊥AE，又EM=

1

2

AB=1，
设EA∩BM=H，则EH=

1

2

HA，
设PA=a，则EA=

1

2

PB=

1

2

4+a2

，EH=

1

3

EA=

1

6

4+a2

．
因为Rt△AME～Rt△MHE，
所以EM²=EH•EA，
即1=

1

2

4+a2

?

1

6

4+a2

，解得a=

8

=2

2

．
即PA=2

2

时，FG⊥平面ACE．

点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的判定，熟练掌握重心定理及线面平行、垂直的判定定理及性质定理是解决问题的关键．