Question

如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且2PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（Ⅰ）求异面直线EF与AG所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：BC∥面EFG；
（Ⅲ）求三棱锥E-AFG的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）判断∠DAG是EF与AG所成的角，然后直接求异面直线EF与AG所成角的余弦值；
（Ⅱ）首先证明BC∥EF，然后证明BC∥面EFG；
（Ⅲ）通过V_E-AFG=V_G-AEF，即可求三棱锥E-AFG的体积．

解答：解：（Ⅰ）解：因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，
于是，∠DAG是EF与AG所成的角…（2分）
∵AD=2，DG=1，AG=

5

，
∴cos∠DAG=

2 5

5

，
∴EF与AG所成角的余弦值是

2 5

5

…（4分）
（Ⅱ）证明：因为BC∥AD，AD∥EF，所以BC∥EF…（6分）
∵BC?平面EFG，EF?平面EFG，
∴BC∥平面EFG…（8分）
（Ⅲ）解：V_E-AFG=V_G-AEF=

1

3

S△AEF•DG=

1

12

…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，两条直线的夹角的求法，考查空间想象能力，计算能力．