Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x₀-2，y₀），向量$\overrightarrow{b}$=（x₀+2，y₀），且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=4$\sqrt{3}$，设M（x₀，y₀），A（-2，0），B（2，0），则|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 12

Answer 1

分析 由$|\overrightarrow{a}|$+|$\overrightarrow{b}$|=4$\sqrt{3}$，可得$\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$+$\sqrt{（{x}_{0}+2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．即|$\overrightarrow{MA}$|+|$\overrightarrow{MB}$|=4$\sqrt{3}$．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=4$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{（{x}_{0}-2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$+$\sqrt{（{x}_{0}+2）^{2}+{y}_{0}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∴|$\overrightarrow{MA}$|+|$\overrightarrow{MB}$|=4$\sqrt{3}$．
∴4$\sqrt{3}$=|$\overrightarrow{MA}$|+|$\overrightarrow{MB}$|$≥2\sqrt{|\overrightarrow{MA}|•|\overrightarrow{MB}|}$．
化为|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|≤12，当且仅当|$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{MB}$|=2$\sqrt{3}$时取等号．
∴|$\overrightarrow{MA}$|•|$\overrightarrow{MB}$|的最大值为12．
故选：D．

点评 本题考查了两点之间的距离公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．