题目内容
设双曲线

的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为
.
【答案】
分析:由双曲线的方程可得a、b的值,进而可得c的值,得到A、F两点的坐标.因此可得设BF的方程为y=±

(x-5),与双曲线的渐近方程联解得到点B的坐标,即可算出△AFB的面积,得到本题答案.
解答:解:根据题意,得a
2=9,b
2=16,
∴c=

=5,且A(3,0),F(5,0),
∵双曲线

的渐近线方程为y=±

x
∴直线BF的方程为y=±

(x-5),
①若直线BF的方程为y=

(x-5),与渐近线y=-

x交于点B(

,-

)
此时S
△AFB=

|AF|•|y
B|=

•2•

=

;
②若直线BF的方程为y=-

(x-5),与渐近线y=

x交点B(

,

)
此时S
△AFB=

|AF|•|y
B|=

•2•

=

.
因此,△AFB的面积为

故答案为:
点评:本题给出双曲线右顶点为A,过右焦点F与一条渐近线平行的直线,交另一条渐近线于B,求△ABF的面积,着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的知识,属于中档题.
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