题目内容
设双曲线的右顶点为A,P是双曲线上异于顶点的一个动点,从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(如图)(1)证明:无论P点在什么位置,总有;
(2)若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围.
【答案】分析:(1)先求出、的坐标,计算的值,把双曲线方程与OP方程联立解得 ,比较可得.
(2)由条件得:,根据k2>0,得到b>,计算e= 的范围.
解答:解:(1)设OP的方程为 y=kx,AR的方程为 y=,
解得 =,同理可得 .
∴=.
设,则由双曲线方程与OP方程联立解得:
∴
∵点P在双曲线上,∴b2-a2k2>0,无论点P在什么位置,总有 .
(2)由条件得:,即 ,
∴4b>a,∴e==>=,即 e>.
点评:本题考查两个向量的数量积,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,式子的变形、化简是解题的难点.
(2)由条件得:,根据k2>0,得到b>,计算e= 的范围.
解答:解:(1)设OP的方程为 y=kx,AR的方程为 y=,
解得 =,同理可得 .
∴=.
设,则由双曲线方程与OP方程联立解得:
∴
∵点P在双曲线上,∴b2-a2k2>0,无论点P在什么位置,总有 .
(2)由条件得:,即 ,
∴4b>a,∴e==>=,即 e>.
点评:本题考查两个向量的数量积,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,式子的变形、化简是解题的难点.
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