题目内容

设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).
(1)设函数f(x)=ln x+ (x>1),其中b为实数.
①求证:函数f(x)具有性质P(b);
②求函数f(x)的单调区间;
(2)已知函数g(x)具有性质P(2).给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数,α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且α>1,β>1,若|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m的取值范围.

(1)当b≤2时,函数f(x)的单调增区间为(1,+∞);
当b>2时,函数f(x)的单调减区间为(1,),单调增区间为(,+∞).
(2)(0,1)

解析

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