Question

14．已知函数f（x）=x²+|x+a-1|+（a+1）²的最小值f（x）_min＞5，求a的取值范围．

Answer 1

分析 化简函数f（x）的解析式，分类讨论求得f（x）_min，再根据f（x）_min＞5，分别求得a的范围，综合可得a的范围．

解答 解：∵f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x{+a}^{2}+a+2，x＜1-a}\\{{x}^{2}+x{+a}^{2}+3a，x≥1-a}\end{array}\right.$，
①当1-a≥$\frac{1}{2}$，即a≤$\frac{1}{2}$时，
f（x）在x＜$\frac{1}{2}$时为减函数，在x＞$\frac{1}{2}$时为增函数，
故f（x）_min =f（$\frac{1}{2}$）=a²-a+$\frac{7}{4}$＞5，解得：a＜$\frac{1-\sqrt{14}}{2}$．
②当1-a≤-$\frac{1}{2}$，即a≥$\frac{3}{2}$时，
f（x）在x＜-$\frac{1}{2}$时为减函数，在x＞-$\frac{1}{2}$时为增函数，
故f（x）_min =f（-$\frac{1}{2}$）=a²+3a-$\frac{1}{4}$＞5，
解得：a≥$\frac{3}{2}$，
③当-$\frac{1}{2}$＜1-a＜$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$ 时，
f（x）在x＜1-a时为减函数，在x＞1-a时为增函数，
故f（x）_min =f（1-a）=2a²+2＞5，求得$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$．
综上可得，a的取值范围为：（-∞，$\frac{1-\sqrt{14}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．
本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，分段函数解析式的求法，运算量大，分类复杂，属于中档题．