Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知3cos（B－C）－1＝6cosBcosC．

（1）求cosA；

（2）若a＝3，△ABC的面积为，求边b和c．

Answer 1

【答案】（1）（2） 或

【解析】

试题分析：（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos（B+C）的值，将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；（2）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，得出bc=6，记作①，再由a及cosA的值，利用余弦定理列出关于b与c的关系式，记作②，联立①②即可求出b与c的值

试题解析：（1）由3cos（B－C）－1＝6cosBcosC

知3（cosBcosC＋sinBsinC）－1＝6cosBcosC，2分

3（cosBcosC－sinBsinC）＝－1，

即cos（B＋C）＝－，又A＋B＋C＝π，4分

∴ cosA＝－cos（B＋C）＝． 6分

（2）由0<A<π及cosA＝知sinA＝，7分

又S△ABC＝2，即bcsinA＝2，

∴ bc＝6． 8分

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2＝13，

∴，10分

∴ 或 12分