题目内容
2.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在区间(1,2)上是减函数,若α,β是锐角三角形的两个内角,则( )A. | f(sinα)>f(cosβ) | B. | f(sinα)<f(cosβ) | C. | f(sinα)>f(sinβ) | D. | f(cosα)<f(cosβ) |
分析 可设x∈(0,1),根据f(x)在R上为偶函数及f(x+2)=f(x)便可得到:f(x)=f(-x)=f(-x+2),可设x1,x2∈(0,1),且x1<x2,根据f(x)在(1,2)上是减函数便可得出f(x1)<f(x2),从而得出f(x)在(0,1)上单调递增.而由α,β是锐角三角形的两个内角便可得出sinα>cosβ,从而根据f(x)在(0,1)上是增函数即可得出f(sinα)>f(cosβ).
解答 解:设x∈(0,1),根据条件,f(x)=f(-x)=f(-x+2),-x+2∈(1,2);
若x1,x2∈(0,1),且x1<x2,则:-x1+2>-x2+2;
∵f(x)在(1,2)上是减函数;
∴f(-x1+2)<f(-x2+2);
∴f(x1)<f(x2);
∴f(x)在(0,1)上是增函数;
α,β是锐角三角形的两个内角,∴α+β>$\frac{π}{2}$;
∴$\frac{π}{2}>α>\frac{π}{2}-β>0$;
∴$sinα>sin(\frac{π}{2}-β)$;
∴sinα>cosβ,sinα,cosβ∈(0,1);
∴f(sinα)>f(cosβ).
故选:A.
点评 考查偶函数的定义,减函数及增函数的定义,根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程:设x1<x2,通过条件比较f(x1)与f(x2),增函数和减函数定义的运用,锐角三角形的两个锐角的和大于$\frac{π}{2}$,正弦函数的单调性.
练习册系列答案
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A. | [-2,0)∪(0,2] | B. | (-1,0)∪(0,2] | C. | [-2,2] | D. | (-1,2] |