Question

10．已知函数f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）cos（x-$\frac{π}{3}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x-$\frac{π}{3}$）
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；
（2）函数y=f（2x）-a在区间$[{0，\frac{π}{4}}]$上恰有两个零点x₁，x₂，求tan（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）用三角函数的恒等变换化简f（x），求出f（x）的最大值以及此时对应的x值；
（2）根据题意，设出f（2x）的零点t₁，t₂，利用三角函数的图象与性质求出t₁+t₂的值，计算tan（x₁+x₂）即可．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+$\sqrt{3}$[1+cos（2x-$\frac{2π}{3}$）]-$\sqrt{3}$
=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{2π}{3}$）
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的最大值为2，此时2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即x=$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z．
（2）f（2x）=2sin（4x-$\frac{π}{3}$），
令t=4x-$\frac{π}{3}$，∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴t∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
设t₁，t₂是函数y=2sin t-a的两个相应零点（即t₁=4x₁-$\frac{π}{3}$，t₂=4x₂-$\frac{π}{3}$），
由函数y=2sin t的图象性质知t₁+t₂=π，即4x₁-$\frac{π}{3}$+4x₂-$\frac{π}{3}$=π，
∴x₁+x₂=$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$，
tan（x₁+x₂）=tan（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{{tan\frac{π}{4}+tan\frac{π}{6}}}{{1-tan\frac{π}{4}×tan\frac{π}{6}}}$=$\frac{{1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}$=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是综合性题目．