题目内容

12.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),如果对于任意的x∈[$\frac{1}{3}$,4],都有-1≤f(x)≤1成立,试求实数a的取值范围.

分析 由已知中对于任意的x∈[$\frac{1}{3}$,4],都有-1≤f(x)≤1成立,分0<a<1和a≥1两种情况讨论满足条件的a值,最后综合讨论结果,可得答案.

解答 解:∵对于任意的x∈[$\frac{1}{3}$,4],都有-1≤f(x)≤1成立,
∴-1≤loga$\frac{1}{3}$≤1,且-1≤loga4≤1,
即${log}_{a}\frac{1}{a}$≤loga$\frac{1}{3}$≤logaa,且${log}_{a}\frac{1}{a}$≤loga4≤logaa,
若0<a<1,则$\frac{1}{a}$≥$\frac{1}{3}$≥a,且$\frac{1}{a}$≥4≥a,解得:0<a≤$\frac{1}{4}$,
若a≥1,则$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{3}$≤a,且$\frac{1}{a}$≤4≤a,解得:a≥4,
综上所述,0<a≤$\frac{1}{4}$,或a≥4.

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,分类讨论思想,难度中档.

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