题目内容
【题目】已知多面体ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，边长为2，AA1⊥平面ABC，四边形A1ACC1为直角梯形，CC1与平面ABC所成的角为 
，AA1=1 
（1）若P为AB的中点，求证：A1P∥平面BC1C；
（2）求二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值．
【答案】
（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，AA1平面A1ACC1，
∴平面A1ACC1⊥平面ABC，
过C1作C1D⊥AC于D，∵平面A1ACC1∩平面ABC=AC，∴C1D⊥平面ABC，
∴CD是CC1在平面ABC内的射影，
∴∠C1CD是CC1与平面ABC所成角，∴ 
，
∴CD=C1D=AD=A1C1=1，
取BC中点F，连结PF，由题意得PF∥AC，且PF= 
AC，
又A1C1∥AC，A1C1= 
，∴A1C1∥PF，且A1C1=PF，
∴四边形A1C1PF为平行四边形，∴A1P∥C1F，
∵C1F平面BC1C，A1P平面BC1C，
∴A1P∥平面BC1C．
（2）解：连结BD，以D为原点，分别以DB，DC，DC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A1（0，﹣1，1），B（ 
），C1（0，0，1），C（0，1，0），
∴ 
=（0，1，0）， 
=（ 
），
设平面A1BC1的一个法向量为 
=（x，y，z），
则 
，取x=1，得 =（1，0， 
），
=（﹣ ，1，0）， 
=（﹣ ，0，1），
设平面BC1C的一个法向量 
=（a，b，c），
则 
，取a=1，得 =（1， ， ），
cos＜ ， ＞= 
= 
= 
，
根据图形得二面角A1﹣BC1﹣C的产面角为钝角，
∴二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值为﹣ ．
【解析】（1）推导出平面A1ACC1⊥平面ABC，过C1作C1D⊥AC于D，则C1D⊥平面ABC，∠C1CD是CC1与平面ABC所成角，取BC中点F，推导出四边形A1C1PF为平行四边形，从而A1P∥C1F，由此能证明A1P∥平面BC1C．（2）连结BD，以D为原点，分别以DB，DC，DC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．
