Question

函数f（x）=

1

2

x2-(a+b)

x2+1

+

9

2

，g（x）=ax²-b（a、b、x∈R）），A={x|

1

2

x2-3

x2+1

+

9

2

≤0}
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；
（Ⅲ）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求3a+b的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用换元法直接求解不等式的解集，即可得到集合A；
（Ⅱ）通过b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，转化为函数的最值问题，通过基本不等式，即可实数a的范围；
（Ⅲ）利用b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立，转化为线性规划问题，然后求3a+b的值．

解答：解：（Ⅰ）令

x2+1

=t≥1，则x²=t²-1，
f（x）≤0即

1

2

x2-3

x2+1

+

9

2

≤0即t²-6t+8≤0，
∴2≤t≤4，所以2≤

x2+1

≤4，所以x∈[-

15

，-

3

]∪[

3

，

15

]，
即A=[-

15

，-

3

]∪[

3

，

15

]，…（5分）
（Ⅱ）f（x）≥0恒成立也就是f（x）=

1

2

x2-(a+b)

x2+1

+

9

2

≥0恒成立，
∵

1

2

x2+

9

2

≥a

x2+1

，即a

x2+1

≤

1

2

x2+

9

2

，
∵

x2+1

＞1，
a≤

1 2 x2+ 9 2

x2+1

=

1

2

×

x2+9

x2+1

=

1

2

(

x2+1

+

8

x2+1

)恒成立，
因为

1

2

(

x2+1

+

8

x2+1

)≥

1

2

×2

8

=2

2

，所以a≤2

2

．
…（11分）
（Ⅲ）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，a+b≤

1 2 x2+ 9 2

x2+1

=

1

2

×

x2+9

x2+1

得a+b≤2

2

，
由g（x）=ax²-b≤0有解，ax²-b≤0有解，即a≤(

b

x2

)max，
∵b＞0，∴a≤(

b

x2

)max=

b

3

，≥3a．     …（14分）
∴a，b满足条件

a+b≤2 2 3a≤b b＞0

所表示的区域，设3a+b=t，b=-3a+t，
根据可行域求出当a=

2

2

，b=

3 2

2

时取得．
所以3a+b的最大值为3

2

．                …（16分）

点评：本题考查不等式的解法，函数的最值以及线性规划基本不等式的应用，考查转化思想与计算能力．