Question

【题目】已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．

（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则 ，

所以，点P到直线l的距离 ．

当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．

（Ⅱ）设点A的坐标为 ，显然y1≠2．

当y1=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x=1；可得B（ ，3），直线AB：y=4x﹣6；

当y1≠﹣2时，直线AP的方程为 ，

化简得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；

综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1=0．

与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为 ．

因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为 ．

因此，B点的坐标为 ．

当 ，即 时，直线AB的斜率 ．

所以直线AB的方程为 ，

整理得 ．

当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立，

此时，直线AB恒过定点（2，2），也在y=4x﹣6上，

当 时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），

故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）

【解析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标；（Ⅱ）设点A的坐标为 ，显然y1≠2．通过当y1=﹣2时，求出直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的斜率，推出AB的方程，判断直线AB恒过定点推出结果．