题目内容
【题目】设a,b是不相等的两个正数,且blna﹣alnb=a﹣b,给出下列结论:①a+b﹣ab>1;②a+b>2;③ +
>2.其中所有正确结论的序号是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
【答案】D
【解析】解:①由blna﹣alnb=a﹣b,得blna+b=alnb+a,即 =
,
设f(x)= ,x>0,
则f′(x)=﹣ =,
由f′(x)>0得﹣lnx>0,得lnx<0,得0<x<1,
由f′(x)<0得﹣lnx<0,得lnx>0,得x>1,
即当x=1时,函数f(x)取得极大值,
则 =
,等价为f(a)=f(b),
则a,b一个大于1,一个小于1,
不妨设0<a<1,b>1.
则a+b﹣ab>1等价为(a﹣1)(1﹣b)>0,
∵0<a<1,b>1.∴(a﹣1)(1﹣b)>0,则a+b﹣ab>1成立,故①正确,
②由即 =
,
得 =
,
由对数平均不等式得 =
>
,
即lna+lnb>0,即lnab>0,
则ab>1,
由均值不等式得a+b>2,故②正确,
③令g(x)=﹣xlnx+x,则g′(x)=﹣lnx,
则由g′(x)>0得﹣lnx>0,得lnx<0,得0<x<1,此时g(x)为增函数,
由g′(x)<0得﹣lnx<0,得lnx>0,得x>1,此时g(x)为减函数,
再令h(x)=g(x)﹣g(2﹣x),0<x<1,
则h′(x)=g′(x)+g′(2﹣x)=﹣lnx﹣lm(2﹣x)=﹣ln[x(2﹣x)]>0,
则h(x)=g(x)﹣g(2﹣x),在0<x<1上为增函数,
则h(x)=g(x)﹣g(2﹣x)<h(1)=0,
则g(x)<g(2﹣x),
即g( )<g(2﹣
),
∵g( )=
﹣
ln
=
+
lna=
=
,
∴g( )=g(
)
则g( )=g(
)<g(2﹣
),
∵g(x)在0<x<1上为增函数,
∴ >2﹣
,
即 +
>2.
故③正确,
故选:D
