题目内容

【题目】设a,b是不相等的两个正数,且blna﹣alnb=a﹣b,给出下列结论:①a+b﹣ab>1;②a+b>2;③ + >2.其中所有正确结论的序号是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

【答案】D
【解析】解:①由blna﹣alnb=a﹣b,得blna+b=alnb+a,即 =

设f(x)= ,x>0,

则f′(x)=﹣ =,

由f′(x)>0得﹣lnx>0,得lnx<0,得0<x<1,

由f′(x)<0得﹣lnx<0,得lnx>0,得x>1,

即当x=1时,函数f(x)取得极大值,

= ,等价为f(a)=f(b),

则a,b一个大于1,一个小于1,

不妨设0<a<1,b>1.

则a+b﹣ab>1等价为(a﹣1)(1﹣b)>0,

∵0<a<1,b>1.∴(a﹣1)(1﹣b)>0,则a+b﹣ab>1成立,故①正确,

②由即 =

=

由对数平均不等式得 =

即lna+lnb>0,即lnab>0,

则ab>1,

由均值不等式得a+b>2,故②正确,

③令g(x)=﹣xlnx+x,则g′(x)=﹣lnx,

则由g′(x)>0得﹣lnx>0,得lnx<0,得0<x<1,此时g(x)为增函数,

由g′(x)<0得﹣lnx<0,得lnx>0,得x>1,此时g(x)为减函数,

再令h(x)=g(x)﹣g(2﹣x),0<x<1,

则h′(x)=g′(x)+g′(2﹣x)=﹣lnx﹣lm(2﹣x)=﹣ln[x(2﹣x)]>0,

则h(x)=g(x)﹣g(2﹣x),在0<x<1上为增函数,

则h(x)=g(x)﹣g(2﹣x)<h(1)=0,

则g(x)<g(2﹣x),

即g( )<g(2﹣ ),

∵g( )= ln = + lna= =

∴g( )=g(

则g( )=g( )<g(2﹣ ),

∵g(x)在0<x<1上为增函数,

>2﹣

+ >2.

故③正确,

故选:D

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