题目内容
【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；
（3）若对x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ， f（x1）≠f（x2），方程f（x）= 
[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1 ， x2）．
【答案】
（1）解：因为f（1）=0，
所以a+b+c=0，
又因为a＞b＞c，
所以a＞0，且c＜0，
因此ac＜0，
所以△=b2﹣4ac＞0，
因此f（x）的图象与x轴有2个交点
（2）解：由（1）可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x1和x2，
因为f（1）=0，
所以f（x）=0的一根为x1=1，
因为x1+x2=﹣ 
，x1x2= 
，
所以x2=﹣ ﹣1= ，
因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，
所以﹣2＜x2＜0．
因为要求f（m）=﹣a＜0，
所以m∈（x1，x2），
因此m∈（﹣2，1），
则m+3＞1，
因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增；
所以f（m+3）＞f（1）=0成立
（3）解：构造函数g（x）=f（x）﹣ 
[f（x1）+f（x2）]，
则g（x1）=f（x1）﹣ [f（x1）+f（x2）]= [f（x1）﹣f（x2）]，
g（x2）=f（x2）﹣ [f（x1）+f（x2）]= [f（x2）﹣f（x1）]，
于是g（x1）g（x2）= 
[f（x1）﹣f（x2）][f（x2）﹣f（x1）]
=﹣ [f（x1）﹣f（x2）]2，
因为f（x1）≠f（x2），
所以g（x1）g（x2）=﹣ [f（x1）﹣f（x2）]2＜0，
所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，
即方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）
【解析】（1）由f（1）=0，得a+b+c=0，根据a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判别式可证；（2）由条件知方程的一根为1，另一根满足﹣2＜x2＜0．由于f（m）=﹣a＜0，可知m∈（﹣2，1），从而m+3＞1，根据函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，可知（m+3）＞0成立． （3）构造函数g（x）=f（x）﹣ [f（x1）+f（x2）]，进而证明g（x1）g（x2）＜0，所以方程g（x）=0在（x1 ， x2）内有一根，故方程f（x）= [f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1 ， x2）．
