题目内容
【题目】椭圆C： 
的长轴是短轴的两倍，点
在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为
、
、
，且
、
、
恰好构成等比数列，记△
的面积为S.
（1）求椭圆C的方程.
（2）试判断
是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？
（3）求S的范围.
【答案】(1) 
（2）5（3）
【解析】试题分析：
根据椭圆
： 
的长轴是短轴的两倍，点
在椭圆上，建立方程，求出几何量，即可求出椭圆
的方程。
设直线
的方程为
,代入椭圆方程，消去
，根据
、
、
恰好构成等比数列，求出
,进而表示出
，即可得出结论。
表示出
的面积，利用基本不等式，即可求出
的范围。
解析：(1)由题意可知
，且
，
所以椭圆的方程为
（2）依题意，直线斜率存在且
，设直线的方程为
（
），
、
由
，因为
、
、
恰好构成等比数列，
所以
，
即
；
所以
此时
得
，且
（否则：
，则
，
中至少有一个为
，直线
、
中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）
所以
；
所以
所以是定值为5；
（3）
（，且
）
所以
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