[题目]直线x+y=1与双曲线 =1 交于M.N两点.若以M.N两点为直径的圆经过坐标原点O．(1)求的值,(2)若0＜a≤ .求双曲线离心率e的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】直线x+y=1与双曲线 =1 （a＞0，b＞0）交于M、N两点，若以M、N两点为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求的值；
（2）若0＜a≤ ，求双曲线离心率e的取值范围．

【答案】
（1）解：由得：（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0（b2≠a2），

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2= ，x1x2= ，

由题意得：x1x2+y1y2=0，

x1 x2+（1﹣x1）（1﹣x2）=1﹣（x1+x2）+2x1x2=1+ ﹣ =0，

∴b2﹣a2﹣2a2b2=0，∴ =2

（2）解：∵0＜a≤ 即0＜2a≤1， ≤1﹣2a2＜，1＜ ≤2，

又∵b2= ，e2= =1+ ，∴e∈（， ]

【解析】（1）联立方程，利用韦达定理，结合x1x2+y1y2=0，即可求的值；（2）若0＜a≤ ，求双曲线离心率e的取值范围．

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