Question

【题目】已知椭圆过点，且的离心率为.

（1）求的方程；

（2）过的顶点作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于两点.若的角平分线方程为，求的面积及直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）;（2）.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆离心率和椭圆上一点的坐标，列方程组，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）设出过点的直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得点的横坐标，由此得到，利用角平分线上的点到两边的距离相等建立方程，可求得斜率，由此求得三角形面积和直线方程.

试题解析：

（1）把点代入中，得，又，∴，

解得， ，

∴椭圆的方程为.

（2）设过斜率为的直线为，代入椭圆方程得

，①

则，

∴ ，②

在直线上取一点，则到直线的距离为，

点到直线的距离为，

由已知条件，解得或.

代入②得， ，

∴的面积 .

由①得， .

∴的方程为，即.