题目内容
2．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为2．分析 求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P（x，y），再由两直线垂直和平行的条件，得到a，b的关系式，再由离心率公式计算即可得到．
解答 解：依题意有A（-a，0），B（a，0），渐近线方程分别为l1：y=$\frac{b}{a}$x，l2：y=-$\frac{b}{a}$x，
设P（x，y），则
由PB∥l2得$\frac{y}{x-a}$=-$\frac{b}{a}$，因为点P在直线y=$\frac{b}{a}$x上，于是解得P点坐标为P（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$），
因为PA⊥l2，所以$\frac{y-0}{x-（-a）}$•（-$\frac{b}{a}$）=-1，即$\frac{b}{3a}$•（-$\frac{b}{a}$）=-1，所以b2=3a2，
因为a2+b2=c2，所以有c2=4a2，即c=2a，得e=2．
故答案为：2．
点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，运用两直线垂直的条件和平行的条件是解题的关键．
练习册系列答案
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| A． | （0，$\frac{5}{12}$） | B． | [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$） | C． | （$\frac{5}{12}$，+∞） | D． | （$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$] |
14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为（ ）
| A． | （2$\sqrt{2}$-2，2$\sqrt{6}$-4） | B． | （$\sqrt{3}$+2，$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$） | C． | （2$\sqrt{2}$+2，2$\sqrt{6}$+4） | D． | （2$\sqrt{6}$-4，4$\sqrt{3}$-6） |
如图所示，已知A、B、C是长轴为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．