题目内容
【题目】已知函数,,,且的最小值为0.
(1)若的极大值为,求的单调减区间;
(2)若,的是的两个极值点,且,证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据的最小值为0分析可得,求导后,利用导数求出函数的极大值,与已知极大值相等列方程,可解得,从而可求得递减区间;
(2)将不等式转化为证,对任意恒成立,再构造函数,,利用导数可得到证明.
(1)因为的最小值为0,故对任意,即恒成立,
且存在实数使得,即能成立,
故关于x的一元二次方程根的判别式,故,
故,则
,
令,则或,故在和上单调递增,
令,则,故在上单调递减,
故是的唯一极大值点,则,解得,
故的单调减区间为.(写成,,均可得分)
(2)不妨设,由(1)可知,的极大值点,极小值点,
又,,故要证:,
即证,
即证,即证,对任意恒成立,
构造函数,,令,
则,故在上单调递减,又,故,
故在上单调递增,又,故,
即对任意恒成立,即对任意恒成立,
特别地,取,则有成立,
故原不等式成立.
练习册系列答案
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【题目】年月日,我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》,附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工人,中年员工人,青年员工人,现采用分层抽样的方法,从该单位员工中抽取人,调查享受个人所得税专项附加扣除的情况,并按照员工类别进行各专项人数汇总,数据统计如表:
专项员工人数 | 子女教育 | 继续教育 | 大病医疗 | 住房贷款利息 | 住房租金 | 赡养老人 |
老员工 | ||||||
中年员工 | ||||||
青年员工 |
(Ⅰ)在抽取的人中,老年员工、中年员工、青年员工各有多少人;
(Ⅱ)从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取人,记为选出的中年员工的人数,求的分布列和数学期望.