Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，短轴长为2．
（1）求椭圆方程；
（2）若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，经过点(0，

2

)且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q．是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由已知得

2b=2 c a =1 a2=b2+c2

?

a= 2 b=1 c=1

故椭圆方程是

x2

2

+y2=1（4分）
（2）由已知条件，直线l：y=kx+

2

，代入椭圆方程得

x2

2

+(kx+

2

)2=1．
整理得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0①
由已知得△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．（6分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，x₁+x₂=-

4 2 k

1+2k2

． ②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

． ③
而A(

2

，0)，B（0，1），

AB

=(-

2

，1)，
所以

OP

+

OQ

与

AB

共线等价于x₁+x₂=-

2

(y1+y2)，
将②③代入上式，解得k=

2

2

，（10分）
又k＜-

2

2

或k＞

2

2

，
故没有符合题意的常数k．（12分）