题目内容
（2013•和平区二模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面节ABCAA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点．（I）求证：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）若E为BC1的中点，求证：OE∥平面A1AB；
（III）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值．
分析：（Ⅰ）由题意可知：平面AA1C1C⊥平面ABC，根据平面与平面垂直的性质定理可以得到，只要证明A1O⊥AC就行了；
（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面A1AB的法向量，证明OE与法向量垂直即可；
（III）利用向量的夹角公式，即可求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值．
（Ⅱ）以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面A1AB的法向量，证明OE与法向量垂直即可；
（III）利用向量的夹角公式，即可求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值．
解答：
（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O?平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=
AC=1，
所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A1（0，0，
），C1（-2，0，
），E（-1，
，
）
则有：
=(-1，0，
)，
=(-1，1，0)，
=（-1，
，
）
设平面A1AB的法向量为
=（x0，y0，z0），则由
，可得
故可取
=(
，
，1)
∴
•
=0
∵OE?平面A1AB
∴OE∥平面A1AB；
（III）解：∵C（-1，0，0），∴
=（-1，0，-
）
∵平面AA1B的一个法向量为
=(
，
，1)
∴|cos＜
，
＞|=|
|=
∵因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量
与
所成锐角互余，
∴sinθ=
（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O?平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）证明：以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=
| 1 |
| 2 |
所以得：O（0，0，0），A（1，0，0），A1（0，0，
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
则有：
| AA1 |
| 3 |
| AB |
| OE |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
设平面A1AB的法向量为
| n |
|
|
故可取
| n |
| 3 |
| 3 |
∴
| OE |
| n |
∵OE?平面A1AB
∴OE∥平面A1AB；
（III）解：∵C（-1，0，0），∴
| A1C |
| 3 |
∵平面AA1B的一个法向量为
| n |
| 3 |
| 3 |
∴|cos＜
| n |
| A1C |
-
| ||||
|
| ||
| 7 |
∵因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量
| n |
| A1C |
∴sinθ=
| ||
| 7 |
点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．
练习册系列答案
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