Question

11．已知数列a_n满足a₁=2．a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
（1）求证数列b_n是等差数列；
（2）求数列a_n的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对等式a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$两边同时减去1整理后两边同时取倒数可知$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$，进而可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=n，进而可求出a_n=$\frac{n+1}{n}$．

解答 （1）证明：∵a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴a_n-1=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-1}$=$\frac{{a}_{n-1}-1+1}{{a}_{n-1}-1}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$，
即b_n=1+b_n-1（n≥2），
又∵b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{2-1}$=1，
∴数列{b_n}是以首项、公差均为1的等差数列；
（2）解：由（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=n，
∴a_n=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．