Question

如图，直三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB． D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．

　　　 （1）求 与平面A₁C₁CA所成角的大小；

　　　 （2）求二面角B—A₁D—A的大小；

　　　 （3）点F是线段AC的中点，证明：EF⊥平面A₁BD．

Answer 1

解：（1）连接A₁C．∵A₁B₁C₁－ABC为直三棱柱，∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥BC．

　　　 ∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A₁C₁CA． ………………1分

　　　 ∴为与平面A₁C₁CA所成角，

．

∴与平面A₁C₁CA所成角为．　　　　　　　　　　　　　　 ………3分

（2）分别延长AC，A₁D交于G． 过C作CM⊥A₁G 于M，连结BM，

　　　 ∵BC⊥平面ACC?₁A₁，∴CM为BM在平面A₁C₁CA内的射影，

　　　 ∴BM⊥A₁G，∴∠CMB为二面角B—A₁D—A的平面角，　　　 ………………………5分

　　　 平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点，

　　　 ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，，．　 ……7分

　　　 即二面角B—A₁D—A的大小为．　　　　　　　　　 ……………………8分

（3）证明：∵A₁B₁C₁—ABC为直三棱柱，∴B₁C₁//BC，

∵由（Ⅰ）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，

∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F，∵F为AC中点，

∴C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D．　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………11分

同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面A₁BD．　　　　　　　　　　 ……………………12分

解法二：

（1）同解法一……………………3分

（2）∵A₁B₁C₁—ABC为直三棱柱，C₁C=CB=CA=2，

AC⊥CB，D、E分别为C₁C、B₁C₁的中点．

建立如图所示的坐标系得：

C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），

C₁（0，0，2）， B₁（2，0，2）， A?₁（0，2，2），

D（0，0，1）， E（1，0，2）．　　　　　　 　　　　　　　　　 ………………6分

，设平面A₁BD的法向量为，

．　　　 …………6分

平面ACC₁A₁?的法向量为=（1，0，0），．　　 ………7分

即二面角B—A₁D—A的大小为．　　　　　　　　　 …………………8分

（3）证明：∵F为AC的中点，∴F（0，1，0），．　　 ……10分

由（Ⅱ）知平面A₁BD的一个法向量为，∴//n ．　　　　 ……11分

EF⊥平面A₁BD．　　　　　　 　　　　　　　　 ………………………………12分