题目内容
(2013•凉山州二模)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,BC=2BB1,D为BC中点.
(1)证明:A1B∥平面C1AD;
(2)证明:平面B1AD⊥平面ClAD.
(1)证明:A1B∥平面C1AD;
(2)证明:平面B1AD⊥平面ClAD.
分析:(1)连结A1C,交AC1于点E.矩形AA1C1C中,可得E为A1C中点,从而得到DE为△A1BC的中位线,可得DE∥A1B.利用线面平行判定定理,即可证出A1B∥平面C1AD;
(2)等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC,再根据直棱柱的性质利用线面垂直的判定与性质,证出AD⊥B1B从而得到AD⊥平面BB1C1C,得AD⊥DB1,所以∠C1DB1就是二面角B1-AD-C1的平面角.最后根据矩形BB1C1C中,BC=2B1B,D为BC中点,证出△B1C1D是以B1C1为斜边的等腰直角三角形,得B1D⊥C1D,得二面角B1-AD-C1是直二面角,结合面面垂直的定义可得平面B1AD⊥平面ClAD.
(2)等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC,再根据直棱柱的性质利用线面垂直的判定与性质,证出AD⊥B1B从而得到AD⊥平面BB1C1C,得AD⊥DB1,所以∠C1DB1就是二面角B1-AD-C1的平面角.最后根据矩形BB1C1C中,BC=2B1B,D为BC中点,证出△B1C1D是以B1C1为斜边的等腰直角三角形,得B1D⊥C1D,得二面角B1-AD-C1是直二面角,结合面面垂直的定义可得平面B1AD⊥平面ClAD.
解答:解:(1)连结A1C,交AC1于点E
∵四边形AA1C1C是矩形,∴E为A1C中点
∵D为BC中点,∴DE为△A1BC的中位线,可得DE∥A1B
∵DE?平面C1AD,A1B?平面C1AD,
∴A1B∥平面C1AD;
(2)∵AB=AC,D为BC中点,∴AD⊥BC
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B⊥平面ABC,
∴结合AD?平面ABC,得AD⊥B1B
∵BC、B1B是平面BB1C1C内的相交直线,∴AD⊥平面BB1C1C
因此,AD⊥DB1,可得∠C1DB1就是二面角B1-AD-C1的平面角
∵矩形BB1C1C中,BC=2B1B,D为BC中点
∴设B1B=1,可得B1D=DC1=
,
结合B1C1=BC=2得△B1C1D是以B1C1为斜边的等腰直角三角形,可得B1D⊥C1D
因此,二面角B1-AD-C1是直二面角,可得平面B1AD⊥平面ClAD.
∵四边形AA1C1C是矩形,∴E为A1C中点
∵D为BC中点,∴DE为△A1BC的中位线,可得DE∥A1B
∵DE?平面C1AD,A1B?平面C1AD,
∴A1B∥平面C1AD;
(2)∵AB=AC,D为BC中点,∴AD⊥BC
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B⊥平面ABC,
∴结合AD?平面ABC,得AD⊥B1B
∵BC、B1B是平面BB1C1C内的相交直线,∴AD⊥平面BB1C1C
因此,AD⊥DB1,可得∠C1DB1就是二面角B1-AD-C1的平面角
∵矩形BB1C1C中,BC=2B1B,D为BC中点
∴设B1B=1,可得B1D=DC1=
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结合B1C1=BC=2得△B1C1D是以B1C1为斜边的等腰直角三角形,可得B1D⊥C1D
因此,二面角B1-AD-C1是直二面角,可得平面B1AD⊥平面ClAD.
点评:本题在底面为等腰三角形的直三棱柱中求证线面平行,并证明面面垂直.着重考查了直三棱柱的性质、线面平行的判定定理和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题.
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