题目内容

如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
（1）求
BN
的模；
（2）求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；
（3）求证：A1B⊥C1M．
分析：（1）建立空间直角坐标系，求出B，N两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出BN的长；
（2）求出
BA1
=（1，-1，2），
CB1
=（0，1，2），利用向量的夹角公式，即可求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；
（3）证明
A1B
•
C1M
=0，即可证明A1B⊥C1M．
解答：（1）解：以C为坐标原点，以
CA
、
CB
、
CC1
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xyz，如图
由题意得N（1，0，1），B（0，1，0），
∴|
BN
|=
12+(-1)2+12
=
3
．
（2）解：依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2）．
∴
BA1
=（1，-1，2），
CB1
=（0，1，2），
∴
BA1
•
CB1
=3．
∴|
BA1
|=
6
，|
CB1
|=
5
，
∴cos＜
BA1
，
CB1
＞=
BA1
•
CB1
|
BA1
||
CB1
|
=
30
10
，
∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为
30
10
．
（3）证明：∵
A1B
=（-1，1，-2），
C1M
=（
1
2
，
1
2
，0），
∴
A1B
•
C1M
=-1×
1
2
+1×
1
2
+（-2）×0=0，
∴
A1B
⊥
C1M
，即A1B⊥C1M．
点评：本题考查直线与直线垂直，考查线线角，其中建立空间坐标系，将线线垂直，线线角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
练习册系列答案
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2
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AF
|；若不存在，说明理由．
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．
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（Ⅲ）证明：直线A1D⊥平面ADC．

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