题目内容
【题目】已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)在(1)中,设曲线经过伸缩变换得到曲线,设曲线上任意一点为,当点到直线的距离取最大值时,求此时点的直角坐标.
【答案】(1),;(2).
【解析】
(1)由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,在直线的参数方程中消去参数可将直线的参数方程化为普通方程;
(2)利用伸缩变换求得曲线的普通方程,进而可得出曲线的参数方程,设点,利用点到直线的距离公式结合辅助角公式、正弦函数的有界性可求得点到直线的距离的最大值,并求出对应的点的坐标.
(1)将曲线的极坐标方程化为,由,
所以,曲线的直角坐标方程为.
在直线的参数方程中消去参数得,
所以,直线的普通方程为;
(2)由伸缩变换得带入圆的方程得,
化简得曲线,其参数方程为(为参数,且),
设点,
点到直线距离为:
,
,则,所以,当时,即当时,
取最大值,即,
此时,点的坐标为.
【题目】鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜欢,而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年,有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷,客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位:箱)在的客户称为“熟客”,并把他们去年采购的数量制成下表:
采购数x |
| ||||
客户数 | 10 | 10 | 5 | 20 | 5 |
(1)根据表中的数据作出频率分布直方图,并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数;
(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的,估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查,决定今年年底是否在网上出售鱼卷,若不在网上出售鱼卷,则按去年的价格出售,每箱利润为20元,预计销售量与去年持平;若在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下调2至5元,且每下调m元()销售量可增加1000m箱,求小张今年年底收入Y(单位:元)的最大值.