题目内容

（1）①计算
lim
n→∞
an+1+bn
an+bn+1
（a2+b2≠0且a≠-b）；
②计算
lim
x→-∞
x2-3
3x3+1
．
（2）设函数f(x)=
x2
1+x2
-1
-1(x＞0)
a(x=0)
b
x
(
1+x
-1)(x＜0)

①若f（x）在x=0处的极限存在，求a，b的值；
②若f（x）在x=0处连续，求a，b的值．
（1）①当a=b≠0时，
lim
n→∞
an+1+bn
an+bn+1
=1；
当|a|＞|b|时，
lim
n→∞
an+1+bn
an+bn+1
=
lim
n→∞
 
a+(
b
a
)n
1+b(
b
a
)n
=a；
当|a|＜|b|时，
lim
n→∞
an+1+bn
an+bn+1
=
lim
n→∞
a(
a
b
)n+1
(
a
b
)n+b
=
1
b
．
∴
lim
n→∞
an+1+bn
an+bn+1
=
1，a=b≠0
a|a|＞|b
1
b
|a|＜|b
．
②
lim
x→-∞
x2-3
3x3+1
=
lim
x→-∞
1-
3
x2
3-1+
1
x3
=-1．

（2）①
lim
x→0-
f(x)=
lim
x→0-
b
x
(
1+x
-1)
=
lim
x→0-
b(
1+x
-1)(
1+x
+1)
x(
1+x
+1)

=
lim
x→0-
b
1+x
+1

=
b
2
．
lim
x→0+
(
x2
1+x2
-1
-1)=
lim
x→0+
[
x2(
1+x2
+1)
(
1+x2
-1)(
1+x2
+1)
-1]
=
lim
0→0+
1+x2
=1．
∵f（x）在x=0处的极限存在，∴
b
2
=1，∴b=2．
故a∈R，b=2．
②∵f（x）在x=0处连续，∴
b
2
=1
a=1
，∴a=1，b=2．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列|xn|由f（xn）=n（n=1，2，…）定义．
（1）求x1、x2和xn的表达式；
（2）计算
limn→∞
xn；
（3）求f（x）的表达式，并写出其定义域；
（1）①计算
lim
n→∞
an+1+bn
an+bn+1
（a2+b2≠0且a≠-b）；
②计算
lim
x→-∞
x2-3
3x3+1
．
（2）设函数f(x)=
x2
1+x2
-1
-1(x＞0)
a(x=0)
b
x
(
1+x
-1)(x＜0)

①若f（x）在x=0处的极限存在，求a，b的值；
②若f（x）在x=0处连续，求a，b的值．
（1）计算
lim
n→∞
(1-
1
22
)(1-
1
32
)(1-
1
42
)…(1-
1
4n2
)．
（2）若
lim
n→∞
(2n+
an2-2n+1
bn+2
)=1，求
a
b
的值．
（1）计算
lim
n→∞
(1-
1
22
)(1-
1
32
)(1-
1
42
)…(1-
1
4n2
)．
（2）若
lim
n→∞
(2n+
an2-2n+1
bn+2
)=1，求
a
b
的值．

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