题目内容
已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线,当n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列|xn|由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.(1)求x1、x2和xn的表达式;
(2)计算
lim | n→∞ |
(3)求f(x)的表达式,并写出其定义域;
分析:1)依题意f(0)=0,又由f(x1)=1,当0≤y≤1时,x1=1.又由f(x2)=2,当1≤y≤2时,x2=1+
.由此入手结合题意可求出xn=
.
(2)当b>1时,
xn=
=
;当0<b<1时,n→∞,xn也趋向于无穷大.
(3)分类讨论可知当b>1时,y=f(x)的定义域为[0,
);当0<b<1时,y=f(x)的定义域为[0,+∞).
1 |
b |
b-(
| ||
b-1 |
(2)当b>1时,
lim |
n→∞ |
lim |
n→∞ |
b-(
| ||
b-1 |
b |
b-1 |
(3)分类讨论可知当b>1时,y=f(x)的定义域为[0,
b |
b-1 |
解答:(1)解:依题意f(0)=0,又由f(x1)=1,当0≤y≤1时,
函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段,
故由
=1
得x1=1.
又由f(x2)=2,当1≤y≤2时,函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段,
故由
=b,
即x2-x1=
得x2=1+
.
记x0=0.由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1,
故得
=bn-1.
又f(xn)=n,f(xn-1)=n-1,∴xn-xn-1=(
)n-1,n=1,2.
由此知数列{xn-xn-1}为等比数列,其首项为1,公比为
.
因b≠1,得xn=
(xk-xk-1)=1+
++
=
,
即xn=
.
(2)解:由(1)知xn=
.
当b>1时,
xn=
=
;
当0<b<1时,n→∞,xn也趋向于无穷大.
(3)解:由(1)知:
当0≤x≤1时,y=x.即当0≤x≤1时,f(x)=x;
当n≤y≤n+1时,即xn≤x≤xn-1时,
由(1)可知,f(x)=n+bn(x-xn)(n=1,2,).
由(2)知:当b>1时,
y=f(x)的定义域为[0,
);
当0<b<1时,y=f(x)的定义域为[0,+∞).
函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段,
故由
f(x1)-f(0) |
x1-0 |
得x1=1.
又由f(x2)=2,当1≤y≤2时,函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段,
故由
f(x2)-f(x1) |
x2-x1 |
即x2-x1=
1 |
b |
1 |
b |
记x0=0.由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1,
故得
f(xn)-f(xn-1) |
xn-xn-1 |
又f(xn)=n,f(xn-1)=n-1,∴xn-xn-1=(
1 |
b |
由此知数列{xn-xn-1}为等比数列,其首项为1,公比为
1 |
b |
因b≠1,得xn=
n |
k=1 |
1 |
b |
1 |
bn-1 |
b-(
| ||
b-1 |
即xn=
b-(
| ||
b-1 |
(2)解:由(1)知xn=
b-(
| ||
b-1 |
当b>1时,
lim |
n→∞ |
lim |
n→∞ |
b-(
| ||
b-1 |
b |
b-1 |
当0<b<1时,n→∞,xn也趋向于无穷大.
(3)解:由(1)知:
当0≤x≤1时,y=x.即当0≤x≤1时,f(x)=x;
当n≤y≤n+1时,即xn≤x≤xn-1时,
由(1)可知,f(x)=n+bn(x-xn)(n=1,2,).
由(2)知:当b>1时,
y=f(x)的定义域为[0,
b |
b-1 |
当0<b<1时,y=f(x)的定义域为[0,+∞).
点评:本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识,考查归纳、推理和综合的能力.
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