题目内容
【题目】设是一个给定的非零实数,在平面直角坐标系
中,曲线
的方程为
且
,点
.
(1)设是
上的任意一点,试求线段
的中点
的轨迹
的方程并指出曲线
的类型和位置;
(2)求出、
在它们的交点
处的各自切线之间的夹角
(锐角)(用反三角函数式表示)
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)
(
且
)
(由
,得
)
(
且
).
故曲线是在一条等轴双曲线
上挖去点(0,0)和
所得的曲线.
设的中点为
,则
.
从而,.
代入方程得
(
且
).
因此,的轨迹
的方程为
(
且
).
它的中心点为,渐近线为
及
,即
是在一条等轴双曲线上挖去点
和
所得的曲线.
(2)联立方程组
②÷①得.
解得,代入式②得
.
故与
的交点为
.
对的两边求关于
的导数得
,即
.
再对的两边求关于
的导数得
,即
.
与
在焦点
处的各自的切线的夹角(锐角)的正切值为
.
故.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】推进垃圾分类处理,是落实绿色发展理念的必然选择,也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度,某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试,并将问卷得分绘制频率分布表如表:
得分 | |||||||
男性 人数 | 40 | 90 | 120 | 130 | 110 | 60 | 30 |
女性 人数 | 20 | 50 | 80 | 110 | 100 | 40 | 20 |
(1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试,试估计其得分不低于60分的概率;
(2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)两类,完成2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关?
不太了解 | 比较了解 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 |
(3)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中,按照性别进行分层抽样,共抽取10人,现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长,设3人中男性队长的人数为ξ,求ξ的分布列和期望.
附:,(n=a+b+c+d).
临界值表: