Question

已知直线l：ax+y=1在矩阵A=

.

1 2 0 1

.

对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；  
（Ⅱ）若点p（x₀，y₀）在直线上，且A

.

x0   y0

.

=

.

x0   y0

.

，求点p的坐标．

Answer 1

分析：（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值；
（II）由A

.

x0   y0

.

=

.

x0   y0

.

得

x0=x0+2y0 y0=y0

，从而解得y₀的值，又点P（x₀，y₀）在直线l上，即可求出点P的坐标．

解答：解：（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），
经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），则有

1 2 0 1

 

x   y

=

x′   y′

，
可得

x′=x+2y y′=y

，又点M′（x′，y′）在直线l′上，∴x+（b+2）y=1，
可得

a=1 b+2=1

，解得

a=1 b=-1

（II）由A

.

x0   y0

.

=

.

x0   y0

.

得

x0=x0+2y0 y0=y0

，从而y₀=0，
又点P（x₀，y₀）在直线l上，∴x₀=1，
∴点P的坐标为（1，0）．

点评：本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，考查矩阵变换，关键是正确利用矩阵的乘法公式，属于基础题．