Question

已知直线l：ax+y-2

2

=0(a∈R)，圆C：x2+y2=1，若过l上任一点P可作圆的两条切线，设切点为A、B．
（1）求a的范围；
（2）若当两条切线长最短时，他们的夹角是60°，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由过l上任一点P可作圆的两条切线，说明直线l与圆相离．可知：圆心到直线l的距离d＞r，利用点到直线的距离公式即可得出；
（2）当OP⊥l时，切线长PA=

OP2-1

取得最短．利用（1）和含30°角的直角三角形的半径关系即可得出．

解答：解：（1）由过l上任一点P可作圆的两条切线，说明直线l与圆相离．
∴圆心到直线l的距离d＞r，∴

2 2

a2+1

＞1，化为a²＜7，解得-

7

＜a＜

7

．
∴a的取值范围是(-

7

，

7

)．
（2）当OP⊥l时，切线长PA=

OP2-1

取得最短．
∴

2 2

a2+1

=2，解得a=±1．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、勾股定理、直角三角形的半径公式，属于难题．