题目内容

(2013•福建)选修4-2:矩阵与变换
已知直线l:ax+y=1在矩阵A=
12
01
对应的变换作用下变为直线l′:x+by=1
(I)求实数a,b的值
(II)若点P(x0,y0)在直线l上,且A
x0
y
 
0
=
x0
y
 
0
,求点P的坐标.
分析:(I)任取直线l:ax+y=1上一点M(x,y),经矩阵A变换后点为M′(x′,y′),利用矩阵乘法得出坐标之间的关系,求出直线l′的方程,从而建立关于a,b的方程,即可求得实数a,b的值;
(II)由A
x0
y
 
0
=
x0
y
 
0
x0=x0+2y0
y0=y0
,从而解得y0的值,又点P(x0,y0)在直线l上,即可求出点P的坐标.
解答:解:(I)任取直线l:ax+y=1上一点M(x,y),
经矩阵A变换后点为M′(x′,y′),则有
12
01
x
y
=
x′
y′

可得
x′=x+2y
y′=y
,又点M′(x′,y′)在直线l′上,∴x+(b+2)y=1,
可得
a=1
b+2=1
,解得
a=1
b=-1

(II)由A
x0
y0
=
x0
y0
x0=x0+2y0
y0=y0
,从而y0=0,
又点P(x0,y0)在直线l上,∴x0=1,
∴点P的坐标为(1,0).
点评:本题以矩阵为依托,考查矩阵的乘法,考查矩阵变换,关键是正确利用矩阵的乘法公式.
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