题目内容

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,,其焦距为,点E为椭圆的上顶点,且

1)求椭圆C的方程;

2)设圆的切线l交椭圆CAB两点(O为坐标原点),求证

3)在(2)的条件下,求的最大值.

【答案】1;(2)证明见解析;(3

【解析】

1)由焦距可求出,由,可求出,进而得到椭圆方程;

2)当切线与轴垂直时,求出焦点坐标,进而证得;当切线与轴不垂直时,设切线方程,联立切线方程与椭圆方程,列韦达定理,利用,即可证明;

3)当切线与轴垂直时,;当切线与轴不垂直时,由、韦达定理以及弦长公式,可求出,借助基本不等式即可求出的最大值.

1)由题意知,又,∴,∴

椭圆的方程为.

2)()当切线与轴垂直时,

交点坐标为

)当切线与轴不垂直时,

设切线为

由圆心到直线距离为

联立直线方程与椭圆方程,得

.

3)当切线与轴垂直时,

当切线与轴不垂直时,由(2)知

,则

当且仅当时等号成立,.

综上所述,的最大值为.

练习册系列答案
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【题目】2020年春节期间,全国人民都在抗击新型冠状病毒肺炎的斗争中.当时武汉多家医院的医用防护物资库存不足,某医院甚至面临断货危机,南昌某生产商现有一批库存的医用防护物资,得知消息后,立即决定无偿捐赠这批医用防护物资,需要用AB两辆汽车把物资从南昌紧急运至武汉.已知从南昌到武汉有两条合适路线选择,且选择两条路线所用的时间互不影响.据调查统计2000辆汽车,通过这两条路线从南昌到武汉所用时间的频数分布表如下:

所用的时间(单位:小时)

路线1的频数

200

400

200

200

路线2的频数

100

400

400

100

假设汽车A只能在约定交货时间的前5小时出发,汽车B只能在约定交货时间的前6小时出发(将频率视为概率).为最大可能在约定时间送达这批物资,来确定这两车的路线.

1)汽车A和汽车B应如何选择各自的路线.

2)若路线1、路线2一次性费用分别为3.2万元、1.6万元,且每车医用物资生产成本为40万元(其他费用忽略不计),以上费用均由生产商承担,作为援助金额的一部分.根据这两辆车到达时间分别计分,具体规则如下(已知两辆车到达时间相互独立,互不影响):

到达时间与约定时间的差x(单位:小时)

该车得分

0

1

2

生产商准备根据运输车得分情况给出现金排款,两车得分和为0,捐款40万元,两车得分和每增加1分,捐款增加20万元,若汽车AB用(1)中所选的路线运输物资,记该生产商在此次援助活动中援助总额为Y(万元),求随机变量Y的期望值,(援助总额一次性费用生产成本现金捐款总额)

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