题目内容

(本小题满分12分)
图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图,其中四边形ABCD是矩形,弧CmD是半圆,凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比,比例系数为,设AB=2x,BC=y.

(1)写出y关于x函数表达式,并指出x的取值范围;
(2)求当x取何值时,凹槽的强度最大.

(1)).(2)

解析试题分析:(1)易知半圆CmD的半径为x,故半圆CmD的弧长为.
所以 ,得     ------------4分
依题意知:      得
所以,).         -----------6分
(2)依题意,设凹槽的强度为T,横截面的面积为S,则有
                    ----------------------8分

.     ----------10分
因为,  所以,当时,凹槽的强度最大.
答: 当时,凹槽的强度最大.                 --------------12分
考点:函数的实际应用;函数的最值及几何意义。
点评:本题主要考查数学建模型和解模型的能力,主要涉及了平面图形的周长,面积及在实际问题中模型的意义.是应用题中的常见题型。

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