题目内容
(本小题共12分)
已知函数的图象过点,且在内单调递减,在上单调递增。
(1)求的解析式;
(2)若对于任意的,不等式恒成立,试问这样的是否存在.若存在,请求出的范围,若不存在,说明理由;
(1)f(x)= x3+x2-2x+即为所求. --------------5分
(2)存在m且m∈[0,1]附合题意
解析试题分析:(1)∵,--------1分
由题设可知:即sinθ≥1, ∴sinθ=1.------3分
从而a= ,∴f(x)= x3+x2-2x+c,而又由f(1)= 得c=.∴f(x)= x3+x2-2x+即为所求. --------------5分
(2)由=(x+2)(x-1),
易知f(x)在(-∞,-2)及(1,+∞)上均为增函数,在(-2,1)上为减函数.
①当m>1时,f(x)在[m,m+3]上递增,故f(x)max=f(m+3), f(x)min=f(m)
由f(m+3)-f(m)= (m+3)3+ (m+3)2-2(m+3)-m3-m2+2m=3m2+12m+≤,
得-5≤m≤1.这与条件矛盾. ------------8分
② 当0≤m≤1时,f(x)在[m,1]上递减, 在[1,m+3]上递增
∴f(x)min=f(1), f(x)max=max{ f(m),f(m+3) },
又f(m+3)-f(m)= 3m2+12m+=3(m+2)2->0(0≤m≤1)
∴f(x)max= f(m+3)∴|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min= f(m+3)-f(1)≤f(4)-f(1)= 恒成立.
故当0≤m≤1时,原不等式恒成立.----------------11分
综上,存在m且m∈[0,1]附合题意---------------12分
考点:本题考查了导数的运用
点评:导数本身是个解决问题的工具,是高考必考内容之一,高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用,求单调、最值、完成证明等,请注意归纳常规方法和常见注意点.