Question

选修4-1：几何证明选讲如图，在正△ABC中，点D，E分别在边t上，且BD=

1

3

BC，CE=

1

3

CA，AD，BE相交于点P，
求证：
（1）P，D，C，E四点共圆；
（2）AP⊥CP．

Answer 1

分析：（1）利用边角边公理，证出△ABD≌△BCE，得∠ADB=∠BEC，再用平角的定义与等量代换，得出∠PDC+∠BEC=π，所以四边形PDCE是圆内接四边形，即P，D，C，E四点共圆；
（2）连接DE，在△CDE中利用余弦定理和勾股定理的逆定理，得到∠CED=90°，再结合（1）四边形PDCE是圆内接四边形得到∠DPC=∠CED=90°，可证出AP⊥CP．

解答：解：（1）∵正△ABC中，BD=

1

3

BC，CE=

1

3

CA
∴BD=CE，AB=BC且∠ABD=∠BCE=60°
∴△ABD≌△BCE，得∠ADB=∠BEC
∵∠PDC+∠ADB=π，
∴∠PDC+∠BEC=π，得四边形PDCE的对角互补
∴四边形PDCE是圆内接四边形，即P，D，C，E四点共圆；---（5分）
（2）如图，连接DE，
∵在△CDE中，CD=2CE，∠DCE=60°，
∴由余弦定理，得DE²=CD²+CE²-2CD•CEcos60°=3CE²
由此可得CE²+DE²=4CE²=CD²，所以∠CED=90°
∵P，D，C，E四点共圆
∴∠DPC=∠CED=90°，得AP⊥CP

点评：本题给出正三角形的两个三等分点，得到全等三角形，求证四点共圆并证明两直线垂直，着重考查了三角形全等的判定、圆內接多边形的性质与判定和余弦定理等知识，属于中档题．