题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,
,且
,
,
,
,
,N为
的中点.
(1)求证:平面
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值
(3)在线段上是否存在一点M,使得直线
与平面
所成角的正弦值为
,若存在,求出
的值;若不存在,说明理由
【答案】(1)见解析;(2)(3)存在,
【解析】
(1)首先过作
,垂足为
,以
为坐标原点,分別以
,
,
为
轴建立空间直角坐标系,分别求出
和平面
的法向量
,根据
即可证明
平面
.
(2)求出平面的法向量为
,再代入二面角公式计算即可得到答案.
(3)首先假设线段上存在一点
,设
,
,得到
,根据直线
与平面
所成角的正弦值为
,求得
,所以存在
,且
.
(1)过作
,垂足为
,则
,
以为坐标原点,分別以
,
,
为
轴建立空间直角坐标系,
如图所示:
则,
,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,
,
则,令
,解得:
.
因为,所以
又平面
,所以
平面
.
(2)设平面的一个法向量为
,
因为,
,
所以,令
,解得
.
所以.
即平面与平面
所成锐二面角的余弦值
.
(3)假设线段上存在一点
,设
,
,
.
因为,所以
则
因为平面的一个法向量
所以,
整理得:,
所以,因为
,所以
.
所以存在,且
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2020年寒假是特殊的寒假,因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习,为研究学生网上学习的情况,某校社团对男女各10名学生进行了网上在线学习的问卷调查,每名学生给出评分(满分100分),得到如图所示的茎叶图.
(1)根据茎叶图判断男生组和女生组哪个组对网课的评价更高?并说明理由;
(2)如图是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图,求的值并估计这20名学生评分的平均值(同一组中的数据用该组区间中点值作为代表);
(3)求该20名学生评分的中位数,并将评分超过
和不超过
的学生数填入下面的列联表:
超过 | 不超过 | |
男生 | ||
女生 |
根据列联表,能否有的把握认为男生和女生的评分有差异?
附:,
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | ||
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |