Question

4．在空间四边形ABCD中，AB⊥AC，AB⊥BD，AC=2，AB=BD=1，AC与BD所成的角为60°，则CD=2．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，利用向量法能求出CD的长．

解答 解：∵在空间四边形ABCD中，AB⊥AC，AB⊥BD，AC=2，AB=BD=1，AC与BD所成的角为60°，
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{CD}$²=（$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$）²
=${\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BD}}^{2}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$
=4+1+1+0+2×2×1×cos120°
=4，
∴|$\overrightarrow{CD}$|=2．
故答案为：2．

点评 本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．