Question

【题目】如图，在直角梯形中， ， ， ， ， 是的中点， 是与的交点，将沿折起到的位置，如图2．

图1 图2

（1）证明： 平面；

（2）若平面平面，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）先证平面，又，得平面；（2）由已知得为二面角的平面角，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，面与面夹角为，由，即得平面与平面夹角的余弦值.

试题解析：（1）在图1中，

因为， ， 是的中点， ，所以

即在图2中， ，

从而平面

又，所以平面．

图1 图2

(2)由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知， ，

所以为二面角的平面角，所以．

如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

因为，

所以， ， ， ，

得， ， ．

设平面的法向量，平面的法向量，二面角为，

则，得，取，

，得，取，

从而，由图可知为钝角．

即二面角的余弦值为．

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的性质，利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.