Question

【题目】已知函数， ．

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】试题分析：（1）先确定函数的定义域，求导后得，根据正负进行讨论，可得函数的单调区间；（2）中可通过分离参数将问题转化成在区间内恒成立求解，令，结合函数零点存在定理可求得的最值。

试题解析：（1）函数的定义域为．

由题意得，

当时， ，则在区间内单调递增；

当时，由，得或（舍去），

当时， ， 单调递增，

当时， ， 单调递减．

所以当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由，

得，

因为，所以原命题等价于在区间内恒成立．

令，

则，

令，则在区间内单调递增，

又，

所以存在唯一的，使得，

且当时， ， 单调递增，

当时， ， ，

所以当时， 有极大值，也为最大值，且 ，

所以，

又，所以,

所以，

因为，

故整数的最小值为2．