Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论极值点的个数；

（2）若，不等式恒成立，当为正数时，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）时，在上没有极值点.当时，在上有两个极值点； （2）.

【解析】

（1）求导可得，可知导函数的最小值为，当时，恒成立，没有极值点，当时，，由于，只需要讨论二次方程的解得情况即可；（2）不等式恒成立，即恒成立，构造函数，对其求导，求出它的最小值为，即，然后结合基本不等式即可求出的最小值。

（1），

时，恒成立，

在上是增函数，没有极值点.

当时，，

二次方程中，，，，

二次方程有两个不等的正根.

在上有两个根，在上有两个极值点.

综上所述，时，在上没有极值点.当时，在上有两个极值点.

（2）不等式恒成立，即恒成立.

记，

，

时，，，在上是增函数，

时，，，在上是减函数，

，

当为正数时，

，

当且仅当即时取等号.

的最小值为.