题目内容

过直角坐标平面xOy中的抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条倾斜角为
π
4
的直线与抛物线相交于A、B两点．
（1）求直线AB的方程；
（2）试用p表示A、B之间的距离；
（3）当p=2时，求∠AOB的余弦值．
参考公式：（xA2+yA2）（xB2+yB2）=xAxB[xAxB+2p（xA+xB）+4p2]．
（1）由题意知焦点F(
p
2
，0)，
∴过抛物线焦点且倾斜角为
π
4
的直线方程是y=x-
p
2
，
即x-y-
p
2
=0，
（2）由
y2=2px
y=x-
p
2
⇒x2-3px+
p2
4
=0⇒xA+xB=3p，xAxB=
p2
4

⇒|AB|=xA+xB+p=4p．
（3）由
y2=4x
y=x-1
⇒x2-6x+1=0⇒xA+xB=6，xAxB=1.cos∠AOB=
|AO|2+|BO|2-|AB|2
2|AO||BO|
=
xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2
2
(xA2+yA2)(xB2+yB2)
=
xAxB+yAyB
(xA2+yA2)(xB2+yB2)
=
2xAxB-
p
2
(xA+xB)+
p2
4
xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]
=-
3
41
41
．
∴∠AOB的大小是与p无关的定值．
练习册系列答案
相关题目
若θ是任意实数，则方程x2+4y2sinθ=1所表示的曲线一定不是（　　）
A．圆B．双曲线C．直线D．抛物线
已知点A（-2，0），B（2，0），M（-1，0），直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积为-
3
4
．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）试判断以PB为直径的圆与圆x2+y2=4的位置关系，并说明理由；
（3）直线PM与椭圆的另一个交点为N，求△OPN面积的最大值（O为坐标原点）．
如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中心，P为半圆弧上一点，且AB=4，∠POB=30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；
（2）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，若△OEF的面积不小于2
2
，求直线l的斜率的取值范围．
如图，点A、B分别是椭圆
x2
36
+
y2
20
=1的长轴的左、右端点，F为椭圆的右焦点，直线PF的方程为
3
x+y-3
2
=0，且PA⊥PF．
（Ⅰ）求直线PA的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=
3
2
，且与椭圆
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L1：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
已知三点P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）．
（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；
（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为
2
5
5
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为
1
2
的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
已知椭圆C：
x2
2
+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF2为直径的圆．
（Ⅰ）当⊙M的面积为
π
8
时，求PA所在直线的方程；
（Ⅱ）当⊙M与直线AF1相切时，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求证：⊙M总与某个定圆相切．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网