Question

【题目】如图，在直三棱柱中， , 是的中点， 是的中点。

（1）求异面直线与所成的角；

（II）求证

（III）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）线线角找平移: 取的中点，则，所以是异面直线与所成的角,再根据余弦定理解得角（2）由三角形相似可得.再根据侧面与底面垂直, 得,即得；根据线面垂直判定定理得, (3) 设是的中点，过点作于，根据线面垂直判定定理以及性质定理可得为二面角平面角,再根据解三角形得二面角的正切值.

试题解析：解：（I）取的中点，连，则，所以是异面直线与所成的角。设，则， ，

.

。在中，

.所以异面直线与所成的角为.

（II）由（I）可知， ,又因为三棱柱是直三棱柱，所以

,得；又由与相似，得又由

,所以, .

（III）连接，设是的中点，过点作于，连,

则.又由平面 平面,所以.

由，得

所以二面角的平面角正切值是.