Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F₁，F₂，其中F₂也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且MF2=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知点A（1，m）（m＞0）是椭圆C₁上一点，E，F是椭圆C₁上的两个动点，若直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，探求直线EF的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用抛物线的定义及其性质可得焦点F₂、交点M的坐标，把点M的坐标代人椭圆的方程及a²=b²+c²即可得出；
（II）把A（1，m）（m＞0）代人椭圆的方程得

1

4

+

m2

3

=1，解得m=

3

2

，得到A(1，

3

2

)．设直线AE的方程为y=k(x-1)+

3

2

，与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到点E的横坐标，进而得到坐标；把k换成-k即可得到点F的坐标，利用斜率公式求得直线EF的斜率．

解答：解：（I）设M（x₁，y₁），
由抛物线C2：y2=4x的方程，得焦点（1，0），
∴F₂（1，0），又|MF2|=

5

3

．
由抛物线定义，x1+1=

5

3

，∴x1=

2

3

，
∵

y

2 1

=4x1，∴y1=

2 6

3

，∴M(

2

3

，

2 6

3

)，
∵M点C₁上，∴

4

9a2

+

8

3b2

=1，又b2=a2-1，
∴9a²-37a²+4=0，∴a²=4或a2=

1

9

．
而a2=

1

9

＜1=c2，应舍去．
∴a²=4，b²=3，
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）把A（1，m）（m＞0）代人椭圆的方程得

1

4

+

m2

3

=1，解得m=

3

2

，∴A(1，

3

2

)．
设直线AE的方程为y=k(x-1)+

3

2

，
代人椭圆方程得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则1×x1=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，
可得x1=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y1=kx1+

3

2

-k，
把上面的斜率k换成-k即可得出
x2=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，y1=-kx1+

3

2

+k，
故kEF=

-k(x1+x2)+2k

x2-x1

=

1

2

为定值．

点评：本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，直线与曲线相交问题转化为方程联立得到一元二次方程的根与系数的关系、直线的斜率计算公式，需要较强的推理能力和计算能力．