Question

17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且满足条件（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC．求：
（1）$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}$的最小值；
（2）若△ABC的周长为2（$\sqrt{3}$+1），求角B．

Answer 1

分析 （1）将2=a代入条件，结合正弦定理，化为边，再由余弦定理，可得cosA，由重要不等式可得bc的最大值，由向量的数量积的定义，可得最小值；
（2）由周长和条件，解关于b，c的方程，运用余弦定理，求得cosB，即可得到角B．

解答 解：（1）由2=a，
（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC即为
（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
运用正弦定理，可得
（a+b）（a-b）=（c-b）c，
a²-b²=c²-cb，
即为b²+c²-a²=bc，
由余弦定理，可得
cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又b²+c²-a²=bc，
即有b²+c²-bc=4≥2bc-bc，
bc≤4，
则$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}$=-bccosA=-$\frac{1}{2}$bc≥-2，
当且仅当b=c=2，取得最小值-2；
（2）由题意可得a+b+c=2（$\sqrt{3}$+1），
a=2，即有b+c=2$\sqrt{3}$，
由b²+c²-bc=4，
解得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
则cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{4+\frac{16}{3}-\frac{4}{3}}{2×2×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
或cosB=$\frac{4+\frac{4}{3}-\frac{16}{3}}{2×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=0，
则B=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义，主要考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查重要不等式的运用，属于中档题．