题目内容
【题目】已知正三棱柱中,
,点
为
的中点,点
在线段
上.
(Ⅰ)当时,求证
;
(Ⅱ)是否存在点,使二面角
等于60°?若存在,求
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)存在点,当
时,二面角
等于
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)证明:连接,
由
为正三棱柱
为正三角形
,
又平面平面
平面
.易得
丄平面
.(Ⅱ)假设存在点
满足条件,设
.由
丄平面
,建立空间直角坐标系
,求得平面
的一个法向量为
,平面
的一个法向量为
.
试题解析:(Ⅰ)证明:连接,
因为为正三棱柱,所以
为正三角形,
又因为为
的中点,所以
,
又平面平面
,平面
平面
,
所以平面
,所以
.
因为,所以
,
所以在中,
,
在中,
,所以
,即
.
又,
所以丄平面
,
面
,所以
.
(Ⅱ)假设存在点满足条件,设
.
取的中点
,连接
,则
丄平面
,
所以,
分别以所在直线为
轴建立空间直角坐标系
,
则,
所以,
设平面的一个法向量为
,
则,
令
,得
,
同理,平面的一个法向量为
,
则,
取
,
∴.
∴,解得
,
故存在点,当
时,二面角
等于
.
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